Робочий аркуш «Функції та обернені».
Робочий аркуш «Функції та обернені» надає користувачам три прогресивно складні аркуші, призначені для покращення їхнього розуміння та застосування функцій та їх обернених у різних математичних контекстах.
Або створюйте інтерактивні персоналізовані аркуші за допомогою AI та StudyBlaze.
Робочий аркуш «Функції та обернені» – легка складність
Робочий аркуш «Функції та обернені».
Мета: зрозуміти поняття функцій та їх обернених за допомогою різноманітних вправ.
1. Визначення
a. Визначте, що таке функція. Додайте приклад.
b. Визначте, що таке обернена функція. Додайте приклад.
2. Запитання з вибором відповідей
Виберіть правильну відповідь на кожне запитання:
a. Що з наведеного є функцією?
i. L = { (1, 2), (2, 3), (1, 4) }
ii. M = { (1, 2), (2, 3), (3, 4) }
b. Якщо f(x) = 2x + 3, чому дорівнює f(2)?
я 5
ii. 7 рік
iii. 9
3. Правда чи хибність
Укажіть, правдиві чи хибні наступні твердження.
a. Кожна функція має зворотну функцію.
b. Обернене до f(x) = x + 5 є f^-1(x) = x – 5.
4. Вправа на встановлення відповідності
Установіть відповідність між кожною функцією та її правильною оберненою:
a. f(x) = 3x – 1 i. f^-1(x) = (x + 1)/3
b. f(x) = x/4 + 2 ii. f^-1(x) = 4(x – 2)
в. f(x) = x^2, x ≥ 0 iii. f^-1(x) = √x
5. Побудова графіків функцій і обернених
a. Побудуйте графік функції f(x) = x + 2 на координатній площині.
b. Побудуйте графік оберненої до цієї функції. Як співвідноситься графік оберненої функції з вихідною функцією?
6. Заповніть пропуски
Заповніть наступні твердження:
a. Функція, обернена до f, позначається __________.
b. Щоб знайти функцію, обернену до функції, потрібно спочатку __________ змінні, а потім __________.
7. Вирішення проблеми
Якщо g(x) = 5x – 2, знайдіть g^-1(x). Покажіть свою роботу крок за кроком.
8. Аплікаційна вправа
Ціна квитка в кінотеатр може бути представлена функцією p(x) = 10x, де x — кількість придбаних квитків.
a. Напишіть обернену функцію, яка представляє кількість куплених квитків із загальною ціною.
b. Якщо людина заплатить 50 доларів, скільки квитків вона придбала?
9. Коротка відповідь
Поясніть своїми словами, чому деякі функції не мають обернених.
10. Додаткове завдання (необов'язково)
Розглянемо функцію h(x) = x^2 для x < 0. Чи є ця функція оберненою? Якщо так, знайдіть його. Якщо ні, поясніть чому.
Кінець аркуша.
Робочий аркуш «Функції та обернені» – середня складність
Робочий аркуш «Функції та обернені».
Мета: зрозуміти поняття функцій та їх обернених, а також застосувати різні математичні навички для розв’язання пов’язаних задач.
Частина A: Запитання з вибором відповідей
1. Що з наведеного нижче представляє функцію?
A) {(2, 3), (3, 4), (2, 5)}
Б) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
C) {(1, 2), (1, 3), (2, 2)}
Г) {(0, 1), (0, -1), (1, 0)}
2. Якщо f(x) = 3x + 2, чому дорівнює f(4)?
А) 14
Б) 12
В) 10
Г) 8 рік
3. Що з наведеного нижче є оберненою функцією f(x) = 2x – 5?
A) f^(-1)(x) = (x + 5)/2
B) f^(-1)(x) = 2/x + 5
C) f^(-1)(x) = 2x + 5
D) f^(-1)(x) = x/2 + 5
Частина B: Істинні чи хибні твердження
Визначте правильні чи хибні наступні твердження:
1. Функція може мати кілька виходів для одного входу.
2. Графік функції та її обернені симетричні відносно прямої y = x.
3. Кожна лінійна функція має обернену функцію, яка також є функцією.
4. Обернена функція f(x) = x^2 є f^(-1)(x) = √x.
Частина C: Запитання з короткими відповідями
1. Поясніть, що означає взаємність функції. Наведіть приклад однозначної функції.
2. За функцією g(x) = x^3 – 4 знайти обернену функцію g^(-1)(x).
3. Знайдіть значення x, якщо f(x) = 6 і f(x) = 2x + 1.
Частина D: Склад функцій
Для функцій f(x) = x + 3 і g(x) = 2x – 1 знайдіть наступне:
1. (f ∘ g)(2)
2. (g ∘ f)(3)
Частина E: Побудова графіків функцій і обернених
1. Побудуйте графік функції f(x) = x – 4. Потім визначте її обернену та побудуйте графік на тій самій координатній площині.
2. Розгляньте графік функції h(x) = x^2 для x ≥ 0. Опишіть кроки, щоб знайти обернену функцію, а потім накресліть обернену функцію на тому ж графіку.
Частина F: Розв’язування задач
1. Певна функція, визначена як f(x) = 4x – 2, має обернену функцію. Опишіть кроки алгебраичного знаходження оберненої функції.
2. Функція визначається як f(x) = 2/x + 1. Знайдіть обернену функцію f^(-1)(x) і вкажіть область визначення початкової функції та її оберненої.
3. Якщо f(x) є функцією, яка визначається як f(x) = x^2 + 1 для всіх x, обчисліть f(2), а потім знайдіть обернену функцію, якщо можливо. Обговоріть будь-які обмеження щодо домену.
Частина Ж: Рефлексія
Напишіть невеликий абзац про важливість обернених функцій у математиці. Обговоріть будь-які застосування в реальному житті, пов’язані з функціями та їх оберненими.
Кінець аркуша
Примітка: обов’язково показуйте всі роботи, щоб отримати повний кредит у кожному розділі.
Робочий аркуш «Функції та обернені» – важка складність
Робочий аркуш «Функції та обернені».
Інструкції: уважно заповніть кожен розділ аркуша. Не забудьте показати свою роботу, щоб отримати повний кредит.
Розділ 1: Оцінка функції
Оцініть наступні функції для заданих значень x.
1. Якщо f(x) = 3x^2 + 2x – 5, знайдіть f(4).
2. Якщо g(x) = sin(x) + 5, знайдіть g(π/2).
3. Якщо h(x) = e^x – 3x, знайдіть h(0).
Розділ 2: Знаходження обернених
Знайдіть обернені функції. Обов’язково сформулюйте свою відповідь чітко.
1. f(x) = 2x + 7
2. g(x) = (x – 3) / 4
3. h(x) = x^3 – 4
Розділ 3: Композиція функцій
Знайдіть склад наступних функцій. Спростіть свою відповідь якомога більше.
1. Якщо f(x) = x^2 + 1 і g(x) = 3x – 4, знайдіть (f ∘ g)(x).
2. Якщо f(x) = √(x + 1) і g(x) = x^2 – 1, знайдіть (g ∘ f)(x).
3. Якщо h(x) = 5x і k(x) = x/2 + 1, знайдіть (h ∘ k)(2).
Розділ 4: Ідентифікація функцій та їх обернених
Установіть відповідність між кожною функцією та її оберненою функцією, вписавши правильну літеру в пропуск.
a. f(x) = x^2 (для x ≥ 0)
b. g(x) = 3x – 5
в. h(x) = 5^x
1. _______ (Зворотне: a. x = √y)
2. _______ (Зворотне число: b. x = (y + 5)/3)
3. _______ (Зворотне значення: c. x = log₅(y))
Розділ 5: Аналіз функцій
Дано функцію f(x) = x^3 – 3x, дайте відповідь на запитання.
1. Знайдіть критичні точки f(x), поклавши першу похідну рівною нулю.
2. Визначте інтервали, де f(x) зростає та спадає.
3. Визначте будь-які локальні максимуми чи мінімуми.
Розділ 6: Застосування в реальному світі
Функція моделює зростання популяції з часом і визначається як P(t) = 200e^(0.3t), де P — чисельність населення, а t — час у роках.
1. Яка чисельність населення через 5 років?
2. Якщо нинішнє населення становить 500 осіб, скільки років знадобиться, щоб населення подвоїлося? Використовуйте функцію, обернену до цієї задачі.
Розділ 7: Побудова графіків функцій і обернених
Побудуйте на одній координатній площині графік функції f(x) = 2x – 1 та її оберненої.
1. Позначте осі та додайте принаймні 4 точки як для функції, так і для її зворотної функції.
2. Обговоріть зв’язок між функцією та її оберненою функцією на графіку.
Кінець аркуша
Перегляньте всі свої відповіді та перевірте їх повноту.
Створюйте інтерактивні аркуші за допомогою ШІ
За допомогою StudyBlaze ви можете легко створювати персоналізовані та інтерактивні робочі аркуші, такі як робочий аркуш функцій і зворотних. Почніть з нуля або завантажте матеріали курсу.
Як використовувати аркуш «Функції та зворотні».
Вибір робочого аркуша з функціями та оберненими функціями має ґрунтуватися на вашому поточному розумінні математичних понять, зокрема, наскільки ви комфортно маніпулюєте функціями та відповідними їм оберненими. Почніть з оцінки своїх навичок; якщо ви новачок у цій темі, знайдіть робочі аркуші, які містять базові вправи, зосереджені на простих функціях, графічних представленнях і основних зворотних операціях. Це зміцнить вашу впевненість, перш ніж переходити до більш складних проблем. Для більш досвідчених учнів шукайте робочі аркуші, які включають складні функції, застосування властивостей або реальні сценарії, що вимагають використання зворотних. Щоб ефективно розглянути тему, спочатку перегляньте визначення та ключові властивості функцій і обернених функцій, переконавшись, що ви розумієте такі терміни, як функції «один до одного» та перевірка горизонтальної лінії. Методично підходити до кожної проблеми; наприклад, ви можете почати, переписавши функцію через y, помінявши x і y, а потім розв’язавши y, щоб знайти зворотну. Нарешті ще раз перевірте свою роботу, склавши функцію та її обернену функцію, щоб переконатися, що ви повертаєтесь до вхідного значення, зміцнюючи своє розуміння через практику.
Заповнення робочого аркуша «Функції та обернені» — це фантастичний спосіб для учнів покращити своє розуміння математичних концепцій, одночасно оцінюючи свої навички в цій важливій області. Займаючись цими робочими аркушами, люди можуть систематично підходити до різних типів функцій та їх зворотних зв’язків, дозволяючи їм виявляти прогалини у своїх знаннях і вказувати області, які потрібно вдосконалити. Структурований формат робочого аркуша «Функції та обернені» дозволяє учасникам практикувати стратегії вирішення проблем і набути впевненості у своїх навичках. Виконуючи різні вправи, учні можуть оцінити рівень своїх навичок, вимірявши свою точність і швидкість, що зрештою призводить до більш надійного розуміння функцій та їхніх властивостей. Крім того, ці робочі аркуші часто включають різноманітні задачі, які задовольняють різні стилі навчання, сприяючи адаптованому досвіду навчання, який заохочує оволодіння предметом. Загалом, активно беручи участь у робочому аркуші «Функції та обернені», люди не лише відточують свої математичні здібності, але й озброюють себе інструментами, необхідними для майбутнього успіху в більш складних темах.