Аркуш з експоненціальними функціями
Робочий аркуш з експоненціальними функціями містить три захоплюючі аркуші, які відповідають різним рівням навичок, що дозволяє користувачам ефективно практикувати та освоювати експоненціальні функції за допомогою цілеспрямованих вправ.
Або створюйте інтерактивні персоналізовані аркуші за допомогою AI та StudyBlaze.
Робочий аркуш з експоненціальними функціями – легкий рівень складності
Аркуш з експоненціальними функціями
Інструкції: Виконайте наступні вправи, пов’язані з показниковими функціями. Обов’язково покажіть свою роботу для розрахунків.
1. Означення експоненціальної функції
Напишіть своїми словами коротке визначення показникової функції. Включіть загальний вигляд рівняння.
2. Ідентифікація експоненціальних функцій
Визначте, чи є наступні функції експоненціальними. Поясніть свої міркування.
а) f(x) = 3^x
б) g(x) = 2x + 5
в) h(x) = 5(1/2)^x
3. Обчислення експоненціальних функцій
Обчисліть значення наступних показникових функцій для заданих значень x.
а) f(x) = 4^x
– Знайти f(0)
– Знайти f(1)
– Знайти f(2)
б) g(x) = 2^(x+1)
– Знайти g(2)
– Знайти g(3)
– Знайти g(-1)
4. Побудова графіків показникових функцій
Побудуйте схематично графіки наступних показникових функцій. Додайте принаймні три точки на кожному графіку.
а) f(x) = 2^x
б) g(x) = 3^(x – 2)
5. Властивості показникових функцій
Заповніть пропуски відповідними термінами.
а) Основа показникової функції має бути _____ (більше, менше або дорівнює) 0.
б) Графік показникової функції завжди проходить через точку (0, _____).
c) Показникові функції є ______ (зростаюча, спадна), коли основа більша за 1.
6. Реальна програма
Культура бактерій подвоюється в розмірі кожні 3 години. Якщо початкова кількість бактерій дорівнює 200, напишіть експоненціальну функцію для представлення розміру культури через t годин. Потім обчислюють кількість бактерій через 9 годин.
7. Слово завдання
Банк пропонує інвестицію з відсотковою ставкою 5% річних, що нараховується щорічно. Якщо ви інвестуєте 1000 доларів, напишіть експоненціальну функцію, яка моделює суму A на рахунку через t років. Використовуйте цю функцію, щоб визначити, скільки грошей буде на рахунку через 10 років.
8. Аналіз зростання та розпаду
Визначте, чи представляють наведені нижче сценарії експоненціальне зростання чи спад. Обґрунтуйте свою відповідь.
а) Популяція кролів щороку збільшується на 20%.
б) Радіоактивна речовина, кількість якої щороку зменшується на 15%.
9. Розв’язування показникових рівнянь
Розв’яжіть наступні показникові рівняння для x.
а) 2^(x+1) = 16
б) 3^(2x) = 81
10. Рефлексія
Поміркуйте над тим, що ви дізналися про експоненціальні функції на цьому аркуші. Напишіть 3 речення, у яких підсумовуються ключові ідеї або концепції.
Перегляньте свої відповіді та надайте додаткові пояснення, якщо це необхідно.
Аркуш з експоненціальними функціями – середня складність
Аркуш з експоненціальними функціями
Ім'я: _________________________
Дата: _________________________
Інструкції: Виконайте наступні вправи, пов’язані з показниковими функціями. Покажіть всю свою роботу, де це можливо.
1. Визначення та властивості
Дайте визначення показникової функції. Обговоріть його ключові характеристики, включаючи загальну форму рівняння, основу та поведінку функції, коли x наближається до додатної та від’ємної нескінченності.
2. Графічний
a. Побудуйте схематично графік показникової функції f(x) = 2^x.
b. Визначте точки перетину x, y та асимптоти.
в. Опишіть поведінку зростання цієї функції при зростанні та спаданні x.
3. Оцінка
Оцініть такі експоненціальні функції:
a. f(x) = 3^x; знайти f(2) і f(-1).
b. g(x) = (1/2)^x; знайти g(3) і g(-2).
4. Текстові задачі
Популяція бактерій подвоюється кожні 3 години. Якщо спочатку є 200 бактерій, напишіть експоненціальну функцію для моделювання популяції бактерій через t годин. Потім дайте відповідь на таке:
a. Скільки бактерій буде через 9 годин?
b. Через скільки годин населення досягне 6400?
5. Трансформація
Обговоріть перетворення функції f(x) = 5^x при її заміні на функцію g(x) = 5^(x – 2) + 3. Зокрема:
a. Опишіть горизонтальні та вертикальні зсуви, застосовані до f(x), щоб отримати g(x).
b. Намалюйте обидві функції на одному наборі осей, щоб проілюструвати перетворення.
6. Безперервні складні відсотки
Якщо ви інвестуєте 1500 дол. США за річною процентною ставкою 5%, яка постійно нараховується, використовуйте формулу A = Pe^(rt), щоб знайти суму грошей через 10 років.
a. Визначте P, r і t у цьому контексті.
b. Обчисліть загальну суму А через 10 років.
7. Розв’яжіть рівняння
Розв’яжіть показникове рівняння для x:
a. 2^(x + 1) = 32
b. 5^(2x) = 125
8. додаток
Інвестиція зростає відповідно до моделі A(t) = A0 * e^(kt), де A0 — початкова сума, k — постійна зростання, а t — час у роках. Розглянемо A0 = 1000 і k = 0.05.
a. Напишіть конкретну експоненціальну функцію для цієї інвестиції.
b. Обчисліть загальну суму через 6 років.
9. Порівняння показникових функцій
Порівняйте графіки функцій f(x) = 3^x і g(x) = 5^x. Обговоріть темпи їх зростання та визначте, для яких значень x одна функція більша за іншу.
10. Реальний приклад
Дослідіть явище реального світу, яке можна змоделювати за допомогою експоненціальної функції (наприклад, зростання населення, радіоактивний розпад тощо). Напишіть короткий абзац, що описує явище, і надайте показникове рівняння, яке його моделює.
Кінець аркуша
Обов’язково перевірте свої відповіді та переконайтеся, що ваші розрахунки чіткі. Після завершення подайте робочий аркуш інструктору.
Робочий аркуш з експоненціальними функціями – важка складність
Аркуш з експоненціальними функціями
1. Запитання з вибором відповідей
Виберіть правильну відповідь на кожне з наступних запитань щодо показникових функцій.
a. Що з наведеного нижче представляє експоненціальну функцію?
A. f(x) = 2^x
B. f(x) = x^2
C. f(x) = 3x + 1
D. f(x) = log(x)
b. Яка горизонтальна асимптота функції f(x) = 3e^(-2x)?
A. y = 3
B. y = 0
C. y = -3
D. y = -2
в. Якщо f(x) = 5^(x+1), яке значення f(0)?
A. 5
B. 25
C. 1
D. 5^(-1)
2. Істинні чи хибні твердження
Визначте, правдиві чи хибні наступні твердження.
a. Графік показникової функції завжди проходить через точку (0,1).
b. Експоненціальна функція може мати лише основу, більшу за 1.
в. Функція f(x) = 4(1/2)^x є спадною функцією.
3. Вирішення проблеми
Розв’яжіть наступні показникові рівняння. Показати всі кроки.
a. 2^(x+3) = 16
b. 5^(2x) = 25
в. 7^(x-2) = 49
4. Графічний
Розглянемо функцію f(x) = 2^x – 4.
a. Знайдіть точки перетину x функції.
b. Визначити вертикальну асимптоти функції.
в. Накресліть графік функції, включно з перерізами x і асимптотами.
5. Проблеми застосування
Певна популяція бактерій подвоюється кожні 3 години. Якщо спочатку є 200 бактерій, змоделюйте популяцію за допомогою експоненціальної функції.
a. Напишіть експоненціальну функцію, яка представляє цей сценарій.
b. Скільки бактерій залишиться через 9 годин?
в. Коли популяція досягне 6400 бактерій?
6. Текстові задачі
Вартість інвестицій зростає за експоненціальною функцією. Якщо інвестиція в розмірі 1,000 доларів США зроблена за відсотковою ставкою 5% щорічно, виразіть суму A через час t у роках.
a. Напишіть формулу для A(t).
b. Розрахуйте суму через 10 років.
в. Скільки часу знадобиться, щоб вартість інвестицій подвоїлася?
7. Задачі на порівняння
Дано функції f(x) = 3^(2x) і g(x) = 9^x:
a. Покажіть, що f(x) і g(x) еквівалентні.
b. Порівняйте темпи зростання f(x) і g(x), коли x наближається до нескінченності. Поясніть свої міркування.
8. Експоненціальний спад
Ізотоп має період напіврозпаду 5 років. Якщо ви починаєте з 80 грамів ізотопу, запишіть експоненціальну функцію розпаду, яка представляє кількість речовини, що залишилася через t років.
a. Що таке функція розпаду?
b. Скільки ізотопу залишається через 15 років?
9. Проблема виклику
Радіоактивна речовина розпадається за функцією N(t) = N_0 * e^(-kt), де N_0 — початкова кількість, а k — постійна розпаду.
a. Якщо період напіврозпаду речовини становить 10 років, яке значення k?
b. Визначте, за який час речовина зменшиться до 20 % початкової маси.
Заповніть робочий аркуш, показавши всю необхідну роботу, і подайте для оцінювання.
Створюйте інтерактивні аркуші за допомогою ШІ
За допомогою StudyBlaze ви можете легко створювати персоналізовані та інтерактивні робочі аркуші, такі як робочий аркуш експоненціальних функцій. Почніть з нуля або завантажте матеріали курсу.
Як використовувати аркуш експоненціальних функцій
Вибір аркуша експоненціальних функцій починається з чіткого розуміння вашого поточного рівня знань. Оцініть, чи знайомі ви з базовими поняттями, такими як ріст і затухання, чи вам потрібно спочатку переглянути основні принципи, такі як експоненти та логарифми. Робочий аркуш, який підходить для початківців, може містити прості задачі, які зосереджуються на графічному представленні та простих обчисленнях, тоді як середній рівень може пропонувати складніші сценарії, які передбачають застосування експоненціальних функцій у реальному світі. Щоб ефективно розв’язати тему, почніть із уважного прочитання інструкцій і переконайтеся, що ви зрозуміли вимоги до кожного запитання, перш ніж заглиблюватися. Корисно спробувати кілька завдань, а потім переглянути надані рішення чи пояснення, що дозволить вам визначити типові помилки та зміцнити ваше розуміння . Крім того, подумайте про обговорення складних вправ з однолітками або пошук онлайн-ресурсів, які пропонують крок за кроком рішення, щоб поглибити ваше розуміння. Поєднання практики з оглядом покращить ваше володіння експоненціальними функціями та підготує вас до більш складних тем.
Взаємодія з робочим аркушем експоненціальних функцій пропонує унікальну можливість для людей оцінити та покращити своє розуміння експоненціальних понять у математиці. Заповнюючи три аркуші, учні можуть систематично оцінювати своє розуміння ключових принципів, таких як темпи зростання та затухання, шляхом практичного застосування та вирішення проблем. Ці робочі аркуші не тільки ставлять перед учнями завдання на різних рівнях, але й забезпечують миттєвий зворотний зв’язок, дозволяючи їм визначити сильні та слабкі сторони своїх навичок. Виконуючи вправи, учасники можуть відстежувати свій прогрес і набувати впевненості у своїх математичних здібностях, що зрештою призводить до глибшого розуміння складних тем. Структурований підхід робочого аркуша з експоненціальними функціями гарантує, що учні можуть точно визначити свій поточний рівень навичок, поставити досяжні цілі та осмислено працювати з матеріалом, що робить його безцінним ресурсом для тих, хто хоче освоїти експоненціальні функції.