Аркуш складених функцій
Робочий аркуш із складеними функціями пропонує три диференційовані робочі аркуші, щоб покращити ваше розуміння та застосування складених функцій, обслуговуючи різні рівні навичок для індивідуального навчання.
Або створюйте інтерактивні персоналізовані аркуші за допомогою AI та StudyBlaze.
Робочий аркуш складених функцій – легкий рівень складності
Аркуш складених функцій
Мета: зрозуміти та попрактикуватися в обчисленні складених функцій за допомогою різноманітних вправ.
1. Визначення складених функцій
Складена функція створюється, коли одна функція використовується як вхід для іншої функції. Якщо у нас є дві функції, f(x) і g(x), складену функцію можна записати так: (f ∘ g)(x) = f(g(x)).
2. Для таких функцій f(x) = 2x + 3 і g(x) = x^2 знайдіть такі значення:
a. (f ∘ g)(2)
b. (g ∘ f)(2)
3. Оцінка складених функцій
Оцініть складену функцію на основі поданих функцій. Покажи всі свої роботи.
a. Якщо f(x) = x + 5 і g(x) = 3x, знайдіть (f ∘ g)(1).
b. Якщо f(x) = x – 4 і g(x) = 2x, знайдіть (g ∘ f)(2).
4. Створіть власні складені функції
Використовуючи наведені нижче функції, створіть дві складені функції та обчисліть їх.
– h(x) = x/2
– j(x) = x + 1
a. Створіть (h ∘ j)(4).
b. Створіть (j ∘ h)(4).
5. Слово завдання
Якщо f(x) представляє собівартість (у доларах) виробництва x товарів, показано як f(x) = 10x + 50, а g(x) представляє дохід (у доларах), отриманий від продажу x товарів, де g(x) = 15x, знайдіть функцію прибутку P(x) за допомогою складеної функції P(x) = g(f(x)). Оцініть прибуток, коли х дорівнює 5 предметам.
6. Правда чи хибність: Оцініть наведені нижче твердження та визначте, правдиві вони чи хибні.
a. (f ∘ g)(x) те саме, що (g ∘ f)(x) для всіх функцій f і g.
b. Композиція функцій може змінювати порядок виконання операцій.
в. Складені функції можна побудувати як графіки звичайних функцій.
7. Вправа на встановлення відповідності
Установіть відповідність між функцією та її складеним виразом.
a. f(x) = 3x + 1
b. g(x) = x – 7
в. h(x) = 4x^2
i. (f ∘ h)(2)
ii. (g ∘ f)(3)
iii. (h ∘ g)(1)
8. Коротка відповідь
Своїми словами поясніть, чому розуміння складених функцій є важливим у математиці та прикладних програмах реального світу.
9. Проблема виклику
Доведіть, що (f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x), якщо f(x) = g(x). Наведіть приклад із конкретними функціями, щоб підтвердити вашу відповідь.
Переконайтеся, що ви чітко показали всю свою роботу та перевірте свої відповіді з партнером, щоб зміцнити ваше розуміння складених функцій.
Кінець аркуша
Робоча таблиця складених функцій – середня складність
Аркуш складених функцій
Інструкції: виконайте наведені нижче вправи, щоб відпрацювати своє розуміння складених функцій. Кожен тип вправи призначений для перевірки різних аспектів ваших знань.
1. Визначення та пояснення
Дайте визначення складеної функції. Використовуйте повні речення та додайте приклад до свого пояснення.
2. Проблеми спрощення
Якщо f(x) = 2x + 3 і g(x) = x^2 – 1, знайдіть наступне:
a) (fg)(x)
b) (gf)(x)
3. Проблеми оцінювання
Дано функції f(x) = x – 4 і g(x) = 3x + 2, обчисліть такі складені функції:
a) (fg)(2)
b) (gf)(-1)
4. Графічна вправа
Побудуйте на одній координатній площині графіки функцій:
а) f(x) = x + 2
б) g(x) = 2x – 1
Позначте на своєму ескізі графіки складених функцій (fg)(x) і (gf)(x).
5. Текстові задачі
Функція f моделює суму грошей, заощаджену щомісяця: f(x) = 200x, де x — кількість місяців. Інша функція g моделює відсотки, отримані від заощаджень: g(x) = 0.05x.
a) Напишіть складену функцію (fg)(x), яка представляє загальну суму заощаджень через x місяців з відсотками.
b) Обчисліть загальну суму, заощаджену через 6 місяців.
6. Правда чи хибність
Прочитайте наведені нижче твердження про складені функції та визначте, істинні вони чи хибні:
а) Композиція двох функцій завжди комутативна.
b) (fg)(x) означає, що ви спочатку застосовуєте g, а потім f.
7. Проблема виклику
Нехай h(x) = 3x + 5 і k(x) = x / 2. Знайдіть і спростіть вирази для наступного:
a) (hk)(x)
б) (kh)(x)
Потім перевірте, що (hk)(x) ≠ (kh)(x).
8. Рефлексія
Напишіть абзац, в якому розкажіть про те, що ви дізналися про складені функції за допомогою цього аркуша. Обговоріть усі труднощі, з якими ви зіткнулися, і те, як ви їх подолали.
Кінець аркуша. Перегляньте свої відповіді перед надсиланням.
Робочий аркуш складених функцій – важка складність
Аркуш складених функцій
Інструкція: Розв’яжіть наступні вправи на складені функції. Кожна вправа спрямована на різні навички, зокрема оцінювання функцій, пошук областей, складання функцій і побудову графіків. Обов'язково покажи всі свої роботи.
1. Дайте визначення функцій:
f(x) = 2x + 3
g(x) = x^2 – 4
Знайдіть наступне:
a. (f ∘ g)(x)
b. (g ∘ f)(x)
2. Враховуючи функції:
h(x) = √(x – 1)
k(x) = 3x + 5
a. Знайдіть область визначення функції (h ∘ k)(x).
b. Знайдіть значення (h ∘ k)(6).
3. Нехай функції визначені так:
p(x) = x/3 – 2
q(x) = 4 – 2x^2
Визначте:
a. (p ∘ p)(x)
b. (q ∘ q)(x)
в. Знайдіть точки перетину x функції (p ∘ q)(x).
4. Розглянемо функції:
r(x) = 5x – 1
s(x) = -x + 2
a. Обчисліть r(s(3)).
b. Обчисліть s(r(0)).
5. Дано:
t(x) = 1/(x + 2)
u(x) = 2x – 3
a. Знайдіть склад (t ∘ u)(x) і спростіть відповідь.
b. Обчисліть (t ∘ u)(4).
6. Дослідимо кусково-розрядні функції. Визначимо функцію m(x) так:
m(x) = { x^2 для x < 0
2x + 1 для x ≥ 0 }
Знайти:
a. (м ∘ м)(-2)
b. (м ∘ м)(2)
7. Враховуючи функції:
v(x) = 1 – x
w(x) = x^3 + x
a. Знайдіть і спростіть (v ∘ w)(x).
b. Визначте область визначення (v ∘ w)(x).
8. Для функцій:
a(x) = x^3 – 2x
b(x) = |x – 3|
a. Обчисліть (b ∘ a)(4).
b. Опишіть, як буде поводитися графік (a ∘ b)(x) порівняно з вихідною функцією a(x).
9. Дайте визначення функцій:
c(x) = 2^x
d(x) = log(x)
Знайти результат композиції (c ∘ d)(10) і опишіть значущість результату в термінах темпів зростання експоненціальних і логарифмічних функцій.
10. Для наступних функцій:
e(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)
a. Обчисліть (e ∘ f)(π/3).
b. Визначити період складеної функції (f ∘ e)(x).
Завершіть робочий аркуш, переглянувши відповіді та переконавшись, що ви розумієте кожен крок, пов’язаний із розв’язуванням цих вправ на складені функції.
Створюйте інтерактивні аркуші за допомогою ШІ
За допомогою StudyBlaze ви можете легко створювати персоналізовані та інтерактивні робочі аркуші, такі як робочий аркуш складених функцій. Почніть з нуля або завантажте матеріали курсу.
Як використовувати таблицю складених функцій
Вибір робочого аркуша складених функцій має ґрунтуватися на вашому поточному розумінні функцій у математиці. Почніть з оцінки свого знайомства з окремими функціями, такими як лінійні та квадратичні функції, перш ніж переходити до складених функцій, які поєднують ці елементи. Шукайте робочі аркуші, які пропонують низку проблем, від базових до більш складних сценаріїв, гарантуючи наявність чітких пояснень залучених концепцій. Корисно вибрати робочий аркуш, який надає покрокові приклади та поступово збільшує складність. Розглядаючи тему, почніть із простіших вправ, щоб здобути впевненість, і обов’язково повторіть будь-які базові поняття, які можуть знадобитися для повного розуміння складених функцій. Коли ви переходите до більш складних проблем, не соромтеся переглядати базові матеріали або шукати пояснень щодо проблемних питань. Робота з однолітками або використання онлайн-ресурсів також може допомогти зрозуміти, гарантуючи, що ви не почуватиметеся приголомшеними під час вивчення цієї складнішої теми.
Робота з трьома робочими аркушами, зокрема робочим аркушем «Складені функції», є цінною можливістю для учнів оцінити та вдосконалити свої математичні навички. Заповнюючи ці робочі аркуші, люди можуть визначити своє поточне розуміння складених функцій і пов’язаних понять, дозволяючи їм точно визначити області, де вони можуть потребувати вдосконалення. Структурований характер вправ забезпечує всебічну оцінку рівня їхніх навичок, сприяючи глибшому розумінню того, як ефективно поєднувати функції. Крім того, робота над цими робочими аркушами не тільки зміцнює фундаментальні знання, але й формує впевненість у вирішенні складніших завдань, що зрештою робить математику більш доступною та менш страшною. У міру виконання завдань учні отримають вигоду від миттєвого зворотного зв’язку, який є важливим для зростання та майстерності, роблячи цей досвід навчальним і доповнюючим.