Робочі аркуші з обчислення
Робочі аркуші Calculus пропонують структурований підхід до засвоєння ключових понять за допомогою трьох прогресивно складних робочих аркушів, покращуючи навички вирішення проблем і підвищуючи впевненість у численні.
Або створюйте інтерактивні персоналізовані аркуші за допомогою AI та StudyBlaze.
Робочі аркуші з обчислення – Легка складність
Робочі аркуші з обчислення
Мета: познайомити з основними поняттями числення, включаючи межі, похідні та інтеграли, за допомогою різноманітних вправ, які відповідають різним стилям навчання.
Розділ 1: Визначення та поняття
1. Заповніть пропуски:
а) Похідна функції вимірює _________ функції в певній точці.
б) Процес знаходження інтеграла називається _________.
c) Обмеження визначає значення, до якого наближається функція як вхід _________ до певної точки.
2. Установіть відповідність між термінами та їх визначеннями:
а) Похідна
б) Інтеграл
в) Межа
– i) Площа під кривою функції
– ii) Миттєва швидкість зміни функції
– iii) Значення, до якого наближається функція, коли вхід наближається до точки
Розділ 2: Запитання з вибором відповідей
1. Яка похідна від f(x) = x²?
а) 2x
б) х²
с) 2
г) х
2. Який інтеграл від f(x) = 3x²?
а) x³ + C
б) 3x³ + C
в) 9x + C
г) 3x² + C
Розділ 3: Коротка відповідь
1. Що означає запис lim x→af(x)?
2. Поясніть основну теорему обчислення своїми словами.
Розділ 4: Розв’язування задач
1. Знайти похідну наступних функцій:
а) f(x) = 5x³
б) g(x) = 2x² + 3x + 1
2. Обчислити інтеграл наведених функцій:
а) h(x) = 4x + 2
б) k(x) = 6x² – x
Розділ 5: Графічні вправи
1. Побудуйте схематично графік функції f(x) = x². Визначте кут нахилу дотичної в точці (1,1).
2. Накресліть площу під кривою для f(x) = x від x=0 до x=3.
Розділ 6: Правда чи хибність
1. Перша похідна функції може дати інформацію про кривизну графіка.
2. Інтеграл можна розглядати як суму нескінченної кількості нескінченно малих величин.
Розділ 7: Рефлексія
Напишіть короткий абзац, пояснюючи, як розуміння числення застосовне в сценаріях реального життя, наприклад у фізиці чи економіці. Наведіть хоча б один приклад.
інструкції:
Заповніть кожен розділ якнайкраще. За потреби використовуйте конспекти та підручник. Закінчивши, перегляньте свої відповіді та роз’ясніть усі сумніви зі своїм інструктором.
Робочі аркуші з обчислення – середня складність
Робочі аркуші з обчислення
Інструкції: виконайте наведені нижче вправи, щоб відпрацювати свої навички числення. Показати всю необхідну роботу для повного кредиту.
1. **Лімітна оцінка**
Оцініть такі межі:
a. lim (x → 3) (x^2 – 9)/(x – 3)
b. lim (x → 0) (sin(2x)/x)
в. lim (x → ∞) (3x^3 – 2x + 1)/(4x^3 + x^2 – 1)
2. **Обчислення похідної**
Знайдіть похідні наступних функцій:
a. f(x) = 5x^4 – 3x^3 + 2x – 7
b. g(t) = e^(2t) * cos(t)
в. h(x) = ln(5x^2 + 3)
3. **Застосування правила ланцюга**
Використовуйте ланцюгове правило, щоб знайти похідну таких складів:
a. y = (3x^2 + 2x + 1)^5
b. z = sin(2x^3 + x)
4. **Пошук критичних точок**
Для функції f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 5 знайдіть:
a. Перша похідна f'(x)
b. Критичні точки шляхом визначення де f'(x) = 0
в. Визначте, чи є кожна критична точка локальним максимумом, локальним мінімумом або ні тим, ні іншим, використовуючи критерій другої похідної.
5. **Інтеграли**
Обчисліть наступні визначені інтеграли:
a. ∫ від 0 до 2 (2x^3 – 5x + 4) dx
b. ∫ від 1 до 3 (1/(x^2 + 1)) dx
6. **Застосування фундаментальної теореми обчислення**
Нехай F(x) = ∫ від 1 до x (t^2 + 3) dt.
a. Знайдіть F'(x).
b. Оцініть F(2).
7. **Проблема пов’язаних ставок**
До стіни притулена драбина довжиною 10 футів. Нижня частина драбини відтягується від стіни зі швидкістю 2 фути в секунду. З якою швидкістю верхня частина драбини падає по стіні, коли нижня частина драбини знаходиться на відстані 6 футів від стіни?
8. **Площа між кривими**
Знайдіть площу між кривими y = x^2 і y = 4.
9. **Обсяг революції**
Знайдіть об’єм твердого тіла, отриманого обертанням області, обмеженої y = x^2 і y = 4, навколо осі x.
10. **Обчислення багатьох змінних**
Розглянемо функцію f(x, y) = x^2 + y^2.
a. Обчисліть градієнт ∇f у точці (1, 2).
b. Визначте напрямок найкрутішого підйому в цій точці.
Перегляньте свої відповіді та потренуйтеся чітко показувати кожен крок. удачі!
Робочі аркуші з обчислення – Важка складність
Робочі аркуші з обчислення
Мета: покращити розуміння складних концепцій числення за допомогою різних стилів вправ.
1. **Лімітна оцінка**
Оцініть наступні обмеження. Показати всі кроки вашого обчислення.
a) lim (x → 2) (x^2 – 4)/(x – 2)
b) lim (x → 0) (sin(3x)/x)
c) lim (x → ∞) (5x^3 – 2x)/(2x^3 + 3)
2. **Похідні програми**
Знайдіть похідну наступних функцій, використовуючи відповідні правила (правило добутку, правило частки, правило ланцюга). Надайте коротке пояснення використаного методу.
а) f(x) = (3x^2 + 2)(x^3 – x)
b) g(t) = (sin(t))/ (cos^2(t))
c) h(y) = e^(y^2) * ln(y)
3. **Інтегральні розрахунки**
Обчисліть наступні інтеграли. Укажіть, підстановку чи інтегрування за частинами ви використовуєте, і обґрунтуйте свій вибір.
а) ∫ (6x^5 – 4x^3) dx
б) ∫ (x * e^(2x)) dx
c) ∫ (sec^2(x) tan(x)) dx
4. **Пов’язані тарифи**
Повітряна куля надувається таким чином, що її об’єм збільшується зі швидкістю 50 кубічних сантиметрів за хвилину.
а) Напишіть рівняння об’єму V кулі через її радіус r.
b) Використовуйте неявне диференціювання, щоб знайти швидкість зміни радіуса відносно часу (dr/dt), коли радіус дорівнює 10 см.
5. **Теорема про середнє значення**
Скористайтеся теоремою про середнє значення, щоб проаналізувати функцію f(x) = x^3 – 3x + 2 на інтервалі [0, 2].
а) Переконайтеся, що умови теореми виконуються.
b) Знайдіть значення (значення) c в інтервалі (0, 2), які задовольняють висновок теореми.
6. **Розширення серії Taylor**
Знайдіть розкладання в ряд Тейлора функції f(x) = e^x з центром у x = 0 до члена x^4.
a) Визначте кілька перших похідних f(x).
б) Запишіть розкладання ряду за отриманими похідними.
7. **Багатозмінні функції**
Розглянемо функцію f(x, y) = x^2y + 3xy^2.
а) Знайдіть частинні похідні ∂f/∂x і ∂f/∂y.
б) Обчисліть часткові похідні в точці (1, 2).
c) Визначити критичні точки f(x, y) і класифікувати їх.
8. **Неявна диференціація**
Використовуйте неявне диференціювання, щоб знайти dy/dx для рівняння x^2 + y^2 = 25.
Покажіть усі свої кроки та надайте детальне пояснення своїх міркувань.
9. **Проблеми з оптимізацією**
Коробку з відкритим верхом потрібно сконструювати з квадратного шматка картону зі стороною 20 см, вирізавши з кожного кута квадрати зі стороною x.
а) Напишіть вираз для об’єму ящика через x.
b) Визначте значення x, яке максимізує гучність.
c) Обґрунтуйте, чи є критична точка максимумом чи мінімумом.
10. **Збіжність/розбіжність рядів**
Визначте, сходиться чи розходиться наступний ряд. Чітко вкажіть використаний тест і надайте обґрунтування.
a) ∑ (n=1 до ∞) (1/n^2)
б) ∑ (н
Створюйте інтерактивні аркуші за допомогою ШІ
За допомогою StudyBlaze ви можете легко створювати персоналізовані та інтерактивні аркуші, такі як Calculus Worksheets. Почніть з нуля або завантажте матеріали курсу.
Як використовувати робочі таблиці Calculus
Робочі аркуші для обчислення є важливими інструментами для покращення вашого розуміння концепцій обчислення, але вибір правильного вимагає ретельного розгляду вашого наявного рівня знань. Почніть з оцінки свого знайомства з фундаментальними темами, такими як межі, похідні та інтеграли; це допоможе вам визначити, чи вибрати робочі аркуші для початківців, середніх чи просунутих. Шукайте ресурси, які спеціально позначені вашим рівнем навичок, або ті, які пропонують спектр складності в межах одного робочого аркуша. Після того, як ви вибрали відповідний робочий аркуш, підійдіть до теми методично: почніть із перегляду будь-якої відповідної теорії чи наданих прикладів, а потім спробуйте розв’язати задачі, не шукаючи негайно розв’язки, дозволяючи собі глибше заглибитися в матеріал. Якщо ви вважаєте певні запитання складними, зробіть крок назад і перегляньте ці концепції у своєму підручнику чи онлайн-ресурсах, переконавшись, що ви розумієте базові принципи, перш ніж знову намагатися вирішити подібні проблеми. Крім того, подумайте про створення навчальних груп або зверніться за допомогою до викладачів, щоб обговорити особливо складні вправи, оскільки спільне навчання може дати різноманітні ідеї та зміцнити ваше розуміння обчислення.
Робота з трьома робочими аркушами Calculus пропонує неоціненну можливість для учнів оцінити та покращити свої математичні знання. Старанно працюючи над цими підібраними вправами, люди можуть визначити свій поточний рівень навичок, визначити області, які потребують подальшої уваги, і розвинути чіткіше розуміння основних концепцій числення. Цей проактивний підхід не тільки сприяє самосвідомості під час навчальної подорожі, але й підвищує впевненість, оскільки студенти бачать відчутне покращення своїх здібностей. Кожен робочий аркуш призначений для вивчення різних аспектів числення, від обмежень і похідних до інтегралів, що дозволяє комплексно оцінювати навички. Крім того, ітераційна практика, яку забезпечують ці робочі аркуші, полегшує опанування через повторення, дозволяючи учням закріпити свої знання та навички вирішення проблем. Зрештою, заповнення цих аркушів з обчислення озброює людей інструментами, необхідними для успіху в навчанні, і допомагає розвивати тривалу вдячність за предмет.