Uzupełnianie arkusza kwadratowego
Arkusz ćwiczeń „Uzupełnianie kwadratów” oferuje uporządkowane podejście do opanowania umiejętności dopełniania kwadratów za pomocą trzech stopniowo trudniejszych arkuszy ćwiczeń, zaprojektowanych w celu zwiększenia zrozumienia i biegłości w zakresie działań algebraicznych.
Możesz też tworzyć interaktywne i spersonalizowane arkusze kalkulacyjne przy użyciu sztucznej inteligencji i StudyBlaze.
Uzupełnianie arkusza roboczego „Kwadrat” – łatwy poziom trudności
Uzupełnianie arkusza kwadratowego
Instrukcje: Ten arkusz pomoże ci przećwiczyć metodę uzupełniania kwadratu. Przepracuj każdą sekcję, korzystając z przykładów podanych jako przewodnik. Nie spiesz się i pokaż całą swoją pracę.
1. Wprowadzenie do uzupełniania kwadratu
Aby dopełnić kwadrat wyrażenia kwadratowego w postaci ax^2 + bx + c, celem jest przepisanie wyrażenia w postaci (x – p)^2 + q. Wiąże się to z dostosowaniem równania w celu utworzenia idealnego trójmianu kwadratowego.
Przykład:
Zamień x^2 + 6x + 5 na postać wierzchołkową.
Krok 1: Weź współczynnik x, który wynosi 6, podziel go przez 2, aby uzyskać 3, a następnie podnieś do kwadratu, aby uzyskać 9.
Krok 2: Przepisz wyrażenie: x^2 + 6x + 9 – 9 + 5 = (x + 3)^2 – 4.
Wyrażenie w postaci wierzchołkowej ma postać (x + 3)^2 – 4.
2. Problemy z praktyką
Przekształć poniższe wyrażenia w postać wierzchołkową, dopełniając kwadrat.
a. x^2 + 4x + 1
b. x^2 – 2x + 10
c. x^2 + 8x + 12
d. x^2 + 10x + 25
np. x^2 – 6x + 8
3. Odbicie
Po ćwiczeniach poświęć chwilę na refleksję nad procesem dopełniania kwadratu. Dlaczego ta metoda jest przydatna przy rozwiązywaniu równań kwadratowych? Napisz kilka zdań podsumowujących Twoje przemyślenia.
4. Problemy ze słowami
Zastosuj metodę uzupełniania kwadratu, aby rozwiązać te rzeczywiste problemy.
a. Powierzchnia kwadratowego ogrodu jest opisana wyrażeniem x^2 + 10x. Jeśli chcesz znaleźć maksymalną powierzchnię ogrodu, uzupełnij kwadrat, aby określić wymiary.
b. Piłkę rzucono w górę, a jej wysokość można wyznaczyć za pomocą równania h(t) = -16t^2 + 32t + 48. Użyj dopełnienia kwadratu, aby znaleźć maksymalną wysokość, jaką osiągnęła piłka.
5. Pytania kontrolne
W przypadku tych zadań należy najpierw uzupełnić kwadrat, a następnie rozwiązać zadanie, aby znaleźć wartości x.
a. x^2 + 4x – 5 = 0
b. 2x^2 + 8x + 6 = 0
c. x^2 – 10x + 9 = 0
6. Aplikacja
Rozważ funkcję f(x) = 2x^2 + 8x + 6.
a. Uzupełnij kwadrat, aby znaleźć wierzchołek.
b. Jaka jest minimalna wartość funkcji i przy jakiej wartości x ona występuje?
7. Przejrzeć
Zakreśl lub zaznacz obszary, w których czułeś się szczególnie pewnie lub potrzebowałeś więcej praktyki. Zapisz jedną rzecz, której nauczyłeś się dzisiaj o wypełnianiu kwadratu.
Po ukończeniu tego arkusza przejrzyj swoje odpowiedzi i przećwicz wszystkie zadania, które były trudne. Powodzenia!
Uzupełnianie arkusza roboczego „Kwadrat” – średni poziom trudności
Uzupełnianie arkusza kwadratowego
Instrukcje: Wykonaj poniższe ćwiczenia związane z uzupełnianiem kwadratu. Pokaż całą swoją pracę, aby uzyskać pełne punkty.
1. Rozwiąż równanie, dopełniając kwadrat:
x² + 6x – 7 = 0
2. Zapisz równanie kwadratowe w postaci wierzchołkowej:
2x² – 8x + 5 = 0
3. Prawda czy fałsz: Uzupełnienie kwadratu może być użyte do wyprowadzenia wzoru kwadratowego. Wyjaśnij krótko swoje rozumowanie.
4. Uzupełnij luki:
Podczas uzupełniania kwadratu dla wyrażenia x² + bx, musisz dodać _____ do obu stron, aby utworzyć idealny trójmian kwadratowy. Wartość do dodania to _____.
5. Mając daną funkcję kwadratową f(x) = x² – 4x + 1, zapisz ją w postaci wierzchołkowej f(x) = a(x – h)² + k. Określ wartości a, h i k.
6. Rozwiązywanie problemów: Prostokąt ma długość reprezentowaną przez wyrażenie x + 3 i szerokość reprezentowaną przez wyrażenie x – 1. Pole prostokąta jest podane przez równanie A = długość × szerokość. Jeśli pole jest równe 24 jednostkom kwadratowym, uzupełnij kwadrat, aby znaleźć możliwe wartości x.
7. Wykresy: Używając funkcji f(x) = x² – 8x + 12, uzupełnij kwadrat, aby przekształcić go w formę wierzchołkową. Następnie zidentyfikuj wierzchołek i oś symetrii. Naszkicuj wykres na dostarczonej siatce.
8. Utwórz własne równanie kwadratowe w postaci standardowej, a następnie uzupełnij kwadrat krok po kroku, aby zapisać go w postaci wierzchołkowej. Jasno oznacz każdy krok w procesie.
9. Zastosowanie: Wysokość pocisku można modelować za pomocą funkcji kwadratowej h(t) = -16t² + 32t + 48, gdzie h to wysokość w stopach, a t to czas w sekundach. Uzupełnij kwadrat, aby znaleźć maksymalną wysokość pocisku.
10. Zadanie: Znajdź wierzchołek i odcinek y funkcji kwadratowej g(x) = 3x² + 12x + 9, dopełniając kwadrat. Pokaż swoją pracę szczegółowo.
Pamiętaj, aby sprawdzić swoje odpowiedzi po ukończeniu arkusza. Powodzenia!
Uzupełnianie arkusza kwadratowego – trudny poziom trudności
Uzupełnianie arkusza kwadratowego
Cel: Popraw swoje zrozumienie i umiejętności w wypełnianiu metody kwadratowej używanej do rozwiązywania równań kwadratowych, analizowania funkcji i manipulowania wyrażeniami. Ten arkusz roboczy zawiera różne rodzaje ćwiczeń, które sprawdzą twoje zrozumienie.
Część 1: Rozwiąż równanie
1. Mając dane równanie kwadratowe x^2 – 6x + 5 = 0, dopełnij kwadrat, aby znaleźć x. Pokaż wszystkie swoje kroki wyraźnie.
2. Rozwiąż równanie 2x^2 + 8x + 6 = 0, dopełniając kwadrat. Podaj dokładne wyjaśnienie każdego podjętego kroku.
3. Przekształć równanie x^2 + 4x = 12 do postaci wierzchołkowej, dopełniając kwadrat, i zidentyfikuj wierzchołek paraboli.
Rozdział 2: Zastosowanie uzupełniania kwadratu
4. Pocisk wystrzelono z ziemi z prędkością początkową 20 m/s. Jego wysokość w metrach jako funkcję czasu w sekundach można modelować za pomocą równania h(t) = -5t^2 + 20t. Uzupełnij kwadrat, aby znaleźć maksymalną wysokość osiągniętą przez pocisk i czas, w którym ta wysokość występuje.
5. Znajdź minimalną wartość funkcji f(x) = 3x^2 + 12x + 5, dopełniając kwadrat. Ponadto określ współrzędną x, przy której występuje to minimum.
Sekcja 3: Konwersja do formy wierzchołkowej
6. Zapisz wyrażenie kwadratowe x^2 – 10x + 21 w postaci wierzchołkowej, uzupełniając kwadrat. Określ wierzchołek i oś symetrii dla odpowiadającej funkcji kwadratowej.
7. Przekształć równanie y = 2x^2 – 8x + 3 w postać wierzchołkową za pomocą metody uzupełniania kwadratów. Określ wierzchołek.
Sekcja 4: Zadania tekstowe
8. Prostokątny ogród ma długość x metrów i szerokość (x + 4) metrów. Powierzchnia jest podana równaniem A(x) = x(x + 4). Uzupełnij kwadrat, aby wyrazić A(x) w postaci wierzchołkowej i znajdź wymiary, które dadzą maksymalną powierzchnię.
9. Przychód R wygenerowany ze sprzedaży x jednostek produktu jest modelowany przez równanie R(x) = -4x^2 + 32x. Użyj dopełnienia kwadratu, aby określić liczbę sprzedanych jednostek, która maksymalizuje przychód i znajdź maksymalny przychód.
Rozdział 5: Ćwiczenia mieszane
10. Mając wyrażenie 4x^2 + 16x + 12, dopełnij kwadrat, aby go uprościć. Potwierdź wynik, rozszerzając dokończone wyrażenie kwadratowe.
11. Uzupełnij kwadrat równania 3x^2 + 18x = -9 i podaj pierwiastki równania.
Instrukcje: Pracuj nad każdym ćwiczeniem ostrożnie, podając jasne kroki i obliczenia. Przejrzyj swoją pracę i upewnij się, że każde rozwiązanie jest kompletne i poprawne. W razie potrzeby uprość swoje ostateczne odpowiedzi.
Twórz interaktywne arkusze kalkulacyjne za pomocą sztucznej inteligencji
Dzięki StudyBlaze możesz łatwo tworzyć spersonalizowane i interaktywne arkusze robocze, takie jak Completing Square Worksheet. Zacznij od zera lub prześlij materiały kursu.
Jak korzystać z arkusza roboczego Completing Square
Wybór arkusza roboczego „Uzupełnianie kwadratów” zależy od Twojej znajomości równań kwadratowych i ogólnej biegłości w matematyce. Zacznij od oceny zrozumienia kluczowych pojęć, takich jak rozkład na czynniki, standardowa postać funkcji kwadratowej i postać wierzchołkowa paraboli. Wybierz arkusze robocze zgodne z Twoim poziomem wiedzy — jeśli jesteś początkujący, poszukaj arkuszy roboczych, które wprowadzają koncepcję za pomocą pomocy wizualnych i przykładów krok po kroku. W miarę postępów rzucaj sobie wyzwanie, rozwiązując bardziej złożone problemy, które wymagają głębszego myślenia analitycznego. Zaleca się metodyczne podejście do każdego arkusza roboczego: najpierw przejrzyj instrukcje i przykłady, aby upewnić się, że wszystko jest zrozumiałe, następnie podejmij się zadań bez odwoływania się do nich, a na koniec sprawdź swoje odpowiedzi w oparciu o podany klucz rozwiązania lub przepracuj błędy, aby zrozumieć swoje pomyłki. Korzystanie z narzędzi graficznych lub oprogramowania może również usprawnić naukę, zapewniając wizualną reprezentację tego, jak dokończenie kwadratu przekształca równanie kwadratowe.
Zaangażowanie się w arkusz „Completing Square Worksheet” jest nieocenionym krokiem dla osób, które chcą poprawić swoje umiejętności matematyczne, szczególnie w algebrze. Pracując nad tymi trzema arkuszami, uczniowie mogą dokładnie ocenić swój obecny poziom umiejętności i zidentyfikować obszary wymagające poprawy. Każdy arkusz jest zaprojektowany tak, aby stopniowo stawiać użytkownikom wyzwania, oferując ustrukturyzowane podejście, które sprzyja głębszemu zrozumieniu metody uzupełniania kwadratu — niezbędnej techniki rozwiązywania równań kwadratowych. Natychmiastowa informacja zwrotna uzyskana z arkuszy pozwala osobom śledzić swoje postępy, świętując małe zwycięstwa w miarę opanowywania materiału. Ponadto arkusze promują krytyczne myślenie i umiejętności rozwiązywania problemów, wyposażając uczniów w narzędzia wykraczające poza algebrę w inne obszary matematyki i zastosowania w życiu codziennym. Ostatecznie zaangażowanie się w te ćwiczenia nie tylko umacnia zrozumienie uzupełniania kwadratu, ale także buduje pewność siebie w radzeniu sobie z bardziej złożonymi koncepcjami matematycznymi.