Feuille de travail sur la loi des cosinus
La feuille de travail sur la loi des cosinus fournit aux utilisateurs trois feuilles de travail progressivement plus difficiles conçues pour améliorer leur compréhension et leur application de la loi des cosinus dans divers contextes mathématiques.
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Feuille de travail sur la loi des cosinus – Niveau de difficulté facile
Feuille de travail sur la loi des cosinus
Objectif : Pratiquer l’utilisation de la loi des cosinus dans divers exercices.
1. Introduction à la loi des cosinus
La loi des cosinus relie les longueurs des côtés d'un triangle au cosinus de l'un de ses angles. Elle est particulièrement utile pour résoudre des triangles lorsque vous disposez d'informations sur deux côtés et l'angle inclus ou sur les trois côtés.
La formule est la suivante:
c² = a² + b² – 2ab * cos(C)
Où :
c = côté opposé à l'angle C
a et b = les deux autres côtés
C = angle inclus
2. Trouvez le côté manquant
Le triangle ABC a des côtés AB = 7, AC = 10 et un angle A = 60 degrés. Utilisez la loi des cosinus pour trouver la longueur du côté BC.
Étape:
a. Identifiez le côté que vous devez calculer (BC).
b. Appliquer la loi des cosinus.
c. Calculez la longueur.
3. Trouvez l'angle manquant
Dans le triangle XYZ, les côtés sont XY = 8, XZ = 6 et YZ = 10. Utilisez la loi des cosinus pour trouver la mesure de l'angle X.
Étape:
a. Identifiez l’angle que vous devez calculer (angle X).
b. Réorganisez la formule de la loi des cosinus pour résoudre le cosinus de l'angle X.
c. Calculez l’angle X en utilisant la fonction arc cosinus.
4. Problème d'application
Un triangle a des côtés mesurant 5, 12 et 13 unités. Déterminez si ce triangle est un triangle rectangle.
Étape:
a. Utilisez la loi des cosinus pour vérifier si l’un des angles est égal à 90 degrés.
b. Identifiez les valeurs à insérer dans la formule.
c. Calculez et concluez s’il s’agit d’un triangle rectangle.
5. Problème de mot
Un géomètre mesure un terrain triangulaire dont les deux côtés mesurent 15 et 20 mètres. L'angle entre eux est de 45 degrés. Calculez la longueur du troisième côté.
Étape:
a. Identifiez les longueurs des côtés et l’angle inclus.
b. Utilisez la loi des cosinus pour trouver la longueur du troisième côté.
c. Montrez votre travail.
6. Problème de défi
Dans le triangle DEF, les côtés sont DE = 14, DF = 18 et EF = 22. Déterminez les trois angles en utilisant la loi des cosinus.
Étape:
a. Trouvez l’angle D en utilisant les côtés DE, DF et EF.
b. Trouvez l’angle E en utilisant les côtés DE, EF et DF.
c. Trouvez l’angle F en utilisant les côtés DF, EF et DE.
d. Assurez-vous que la somme des angles est égale à 180 degrés.
7. Réflexion
Après avoir terminé ces exercices, réfléchissez aux questions suivantes :
a. Qu’avez-vous trouvé facile ou difficile dans l’utilisation de la loi des cosinus ?
b. Comment pouvez-vous appliquer la loi des cosinus dans des situations réelles ?
c. Quelles stratégies avez-vous utilisées pour résoudre les problèmes efficacement ?
En complétant cette feuille de travail, vous acquerrez une solide compréhension de la manière d’appliquer la loi des cosinus dans différents scénarios.
Feuille de travail sur la loi des cosinus – Difficulté moyenne
Feuille de travail sur la loi des cosinus
Instructions : Cette fiche de travail contient une variété d'exercices conçus pour vous aider à comprendre et à appliquer la loi des cosinus dans différents scénarios. Complétez chaque section et montrez votre travail si nécessaire.
1. Définition et explication
a. Définissez la loi des cosinus avec vos propres mots.
b. Écrivez la formule de la loi des cosinus.
2. Questions à choix multiples
Choisissez la bonne réponse pour chaque question.
a. Laquelle des affirmations suivantes concernant la loi des cosinus est vraie ?
i. Il ne peut être utilisé que pour les triangles rectangles.
ii. Elle relie les longueurs des côtés d’un triangle au cosinus de l’un de ses angles.
iii. C’est un cas particulier du théorème de Pythagore.
iv. Elle ne peut pas être utilisée lorsque deux côtés et l’angle inclus sont connus.
b. Si un triangle a des côtés de longueur 5, 7 et un angle de 60 degrés, quelle formule utiliseriez-vous pour trouver le côté manquant ?
i. a² = b² + c² – 2bc * cos(A)
ii. sin(A) = opposé/hypoténuse
iii. Théorème de Pythagore
iv. Aire = base * hauteur
3. Résolution de problèmes
Utilisez la loi des cosinus pour résoudre les problèmes suivants. Montrez tout votre travail.
a. Dans le triangle ABC, le côté a = 8 cm, le côté b = 6 cm et l'angle C = 45 degrés. Calculez la longueur du côté c.
b. Dans le triangle DEF, les côtés d = 10 m, e = 12 m et l'angle F = 120 degrés. Calculez la longueur du côté f.
4. Remplissez les blancs
Complétez les phrases en utilisant la loi des cosinus.
a. La loi des cosinus peut être utilisée pour trouver un ________ manquant si deux côtés et l'angle inclus sont connus.
b. Si nous avons les trois côtés d’un triangle, nous pouvons trouver l’un des ________ en utilisant la loi des cosinus.
5. Vrai ou faux
Déterminez si chaque affirmation est vraie ou fausse.
a. La loi des cosinus peut s’appliquer à n’importe quel triangle, pas seulement aux triangles rectangles.
b. Si nous connaissons deux angles et un côté d’un triangle, nous pouvons utiliser la loi des cosinus pour trouver le côté manquant.
6. Problème d'application
Un parc extérieur triangulaire a deux côtés mesurant 50 mètres et 70 mètres. L'angle entre ces deux côtés est de 60 degrés.
a. Calculez la longueur du troisième côté du parc.
b. Si vous souhaitez trouver la superficie du parc, quelle autre formule utiliseriez-vous après avoir trouvé le troisième côté ?
7. Question défi
Une voile triangulaire a des côtés de longueurs 15 m, 20 m et 25 m. Démontrer si ce triangle est rectangle en utilisant la loi des cosinus.
8. Visualisation
Dessinez un triangle étiqueté avec les côtés a, b et c et les angles A, B et C. Indiquez où vous appliqueriez la loi des cosinus pour trouver un côté ou un angle manquant.
9. Réflexion
Réfléchissez à votre expérience d’apprentissage. Écrivez deux à trois phrases expliquant comment la loi des cosinus peut être utilisée dans des situations réelles, telles que la conception, la navigation ou la construction.
Veuillez soumettre votre feuille de travail complétée pour obtenir des commentaires.
Feuille de travail sur la loi des cosinus – Niveau de difficulté élevé
Feuille de travail sur la loi des cosinus
Objectif : Pratiquer l’application de la loi des cosinus dans divers contextes mathématiques, notamment la résolution de problèmes, les preuves et les applications.
Instructions : Résolvez chaque exercice avec soin. Montrez tous les travaux pour obtenir le crédit complet. Utilisez des diagrammes si nécessaire et arrondissez les réponses à deux décimales si nécessaire.
1. Compréhension conceptuelle
Expliquez la loi des cosinus avec vos propres mots. Incluez une description des cas où il est approprié d'utiliser cette loi par rapport à la loi des sinus.
2. Application aux triangles
Un triangle a des côtés mesurant 7 cm et 9 cm et un angle opposé au troisième côté mesure 60 degrés. Utilisez la loi des cosinus pour trouver la longueur du troisième côté.
3. Preuve
Démontrer la loi des cosinus à partir du théorème de Pythagore. Considérez un triangle ABC dont les côtés a, b, c sont respectivement opposés aux angles A, B et C, et incluez des étapes mathématiques détaillées dans votre démonstration.
4. Application dans le monde réel
Un navire navigue du point A au point B sur une distance de 15 miles, puis change de cap et navigue sur 10 miles jusqu'au point C, où l'angle ABC est de 75 degrés. À quelle distance se trouve le navire du point A ? Utilisez la loi des cosinus pour justifier votre réponse.
5. Leçon sur les angles
Étant donné un triangle dont les côtés sont a = 5, b = 8 et c = 10, utilisez la loi des cosinus pour trouver la mesure de l'angle A. Arrondissez votre réponse au degré le plus proche.
6. Résolution de problèmes
Dans le triangle XYZ, les longueurs des côtés XY, XZ et YZ sont respectivement de 12, 16 et 20. Utilisez la loi des cosinus pour déterminer les angles du triangle. Montrez les calculs pour chaque angle, en les étiquetant comme angle X, Y et Z.
7. Défi de comparaison
Deux triangles sont donnés : le triangle 1 a des côtés de 3 cm, 4 cm et un angle de 60 degrés ; le triangle 2 a des côtés de 5 cm, 5 cm et un angle de 30 degrés. Calculez le troisième côté de chaque triangle en utilisant la loi des cosinus et comparez les résultats. Quel triangle a un troisième côté plus grand ?
8. Solveur quadratique
Étant donné un triangle dont les côtés sont a = 10, b = 14 et un angle C = 120 degrés, appliquez la loi des cosinus pour trouver le côté c. Établissez l'équation sous forme quadratique et résolvez pour c, en montrant toutes les étapes de vos calculs.
9. Erreur d'analyse
Considérez l’application incorrecte suivante de la loi des cosinus :
c² = a² + b² – 2ab cos(A)
Si a = 6, b = 8 et A = 120 degrés, identifiez l’erreur dans le calcul de c et fournissez la valeur correcte.
10. Question d'extension
Pour un triangle obtus dont les côtés sont a = 13, b = 14 et c = 15, calculez les angles du triangle en utilisant la loi des cosinus. Discutez de l'importance des angles obtus dans votre solution.
Fin de la feuille de travail
Révisez vos réponses et assurez-vous que tout le travail est clairement présenté. Si le temps le permet, essayez de résoudre des problèmes supplémentaires impliquant des applications du monde réel ou de la géométrie avancée pour approfondir votre compréhension de la loi des cosinus.
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Comment utiliser la feuille de travail sur la loi des cosinus
La sélection des feuilles de travail sur la loi des cosinus est cruciale pour maîtriser efficacement le sujet. Commencez par évaluer votre compréhension actuelle des triangles et des principes trigonométriques ; si vous êtes relativement nouveau dans le domaine, optez pour des feuilles de travail qui fournissent des concepts fondamentaux et augmentent progressivement la difficulté. Recherchez des ressources qui incluent des exemples étape par étape, car ils vous aideront à comprendre l'application de la loi des cosinus dans divers contextes. Lorsque vous vous attaquez à la feuille de travail, prenez le temps de lire attentivement chaque problème et d'identifier les informations fournies par rapport à celles qui doivent être résolues. Il est utile d'écrire les formules et les relations clés que vous avez apprises, car cela peut vous aider à visualiser le problème. De plus, n'hésitez pas à revoir les sujets ou les concepts précédents si vous vous trouvez en difficulté ; le renforcement de vos connaissances peut améliorer considérablement votre compréhension de la manière dont la loi des cosinus s'inscrit dans le cadre plus large de la trigonométrie. Enfin, envisagez de travailler sur des problèmes pratiques par incréments, en prévoyant des pauses pour éviter l'épuisement professionnel ; cette approche vous permet de rester engagé et concentré, ce qui conduit finalement à une meilleure rétention et compréhension.
La feuille de travail sur la loi des cosinus est un outil précieux pour quiconque cherche à améliorer sa compréhension de la trigonométrie et à améliorer ses compétences en résolution de problèmes. En remplissant les trois feuilles de travail incluses, les individus renforcent non seulement leur compréhension de ce théorème essentiel, mais acquièrent également un aperçu de leurs propres niveaux de compétence. Ces feuilles de travail sont conçues pour mettre progressivement au défi les utilisateurs, leur permettant d'identifier les points forts et ceux qui nécessitent une amélioration. Au fur et à mesure que les participants effectuent chaque exercice, ils éprouveront la satisfaction de maîtriser des concepts complexes, ce qui renforce leur confiance dans leurs capacités mathématiques. De plus, la rétroaction immédiate fournie peut guider les apprenants pour concentrer efficacement leurs études, en s'assurant qu'ils tirent le meilleur parti de leur temps de pratique. Ainsi, l'utilisation de la feuille de travail sur la loi des cosinus est une approche stratégique à la fois pour l'auto-évaluation et l'amélioration des compétences en trigonométrie.