Pracovní list složených funkcí
Pracovní list složených funkcí nabízí tři diferencované pracovní listy, které vám pomohou lépe porozumět a používat složené funkce, přičemž uspokojí různé úrovně dovedností pro přizpůsobení vzdělávacího zážitku.
Nebo vytvořte interaktivní a personalizované pracovní listy pomocí AI a StudyBlaze.
Pracovní list složených funkcí – snadná obtížnost
Pracovní list složených funkcí
Cíl: Pochopit a procvičit hodnocení složených funkcí prostřednictvím různých cvičení.
1. Definujte složené funkce
Složená funkce se vytvoří, když je jedna funkce použita jako vstup pro jinou funkci. Máme-li dvě funkce, f(x) a g(x), lze složenou funkci zapsat jako (f ∘ g)(x) = f(g(x)).
2. Pro následující funkce, f(x) = 2x + 3 a g(x) = x^2, najděte následující hodnoty:
A. (f ∘ g) (2)
b. (g ∘ f) (2)
3. Vyhodnocení složených funkcí
Vyhodnoťte složenou funkci na základě poskytnutých funkcí. Ukažte veškerou svou práci.
A. Jestliže f(x) = x + 5 a g(x) = 3x, najděte (f ∘ g)(1).
b. Jestliže f(x) = x – 4 a g(x) = 2x, najděte (g ∘ f)(2).
4. Vytvořte si vlastní složené funkce
Pomocí níže definovaných funkcí vytvořte dvě složené funkce a vyhodnoťte je.
– h(x) = x/2
– j(x) = x + 1
A. Vytvořte (h ∘ j) (4).
b. Vytvořte (j ∘ h) (4).
5. Slovní úloha
Jestliže f(x) představuje náklady (v dolarech) na výrobu x položek, zobrazí se jako f(x) = 10x + 50 a g(x) představuje příjem (v dolarech) získaný z prodeje x položek, kde g(x) = 15x, najděte ziskovou funkci P(x) pomocí složené funkce P(x) = g(f(x)). Vyhodnoťte zisk, když se x rovná 5 položkám.
6. Pravda nebo nepravda: Vyhodnoťte níže uvedená tvrzení a určete, zda jsou pravdivá nebo nepravdivá.
A. (f ∘ g)(x) je stejné jako (g ∘ f)(x) pro všechny funkce f a g.
b. Složení funkcí může měnit pořadí operací.
C. Složené funkce lze graficky zobrazit stejně jako běžné funkce.
7. Přiřazovací cvičení
Přiřaďte funkci k jejímu složenému výrazu.
A. f(x) = 3x + 1
b. g(x) = x – 7
C. h(x) = 4x^2
i. (f ∘ h) (2)
ii. (g ∘ f) (3)
iii. (h ∘ g) (1)
8. Krátká odpověď
Vlastními slovy vysvětlete, proč je porozumění složeným funkcím důležité v matematice a aplikacích v reálném světě.
9. Problém výzvy
Dokažte, že (f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x), jestliže f(x) = g(x). Uveďte příklad s konkrétními funkcemi na podporu vaší odpovědi.
Zajistěte, abyste jasně ukázali veškerou svou práci a ověřte si své odpovědi u partnera, abyste posílili své porozumění složeným funkcím.
Konec pracovního listu
Pracovní list složených funkcí – střední obtížnost
Pracovní list složených funkcí
Pokyny: Dokončete níže uvedená cvičení, abyste si procvičili porozumění složeným funkcím. Každý typ cvičení je navržen tak, aby otestoval různé aspekty vašich znalostí.
1. Definice a vysvětlení
Definujte složenou funkci. Používejte celé věty a zahrňte do vysvětlení příklad.
2. Problémy se zjednodušením
Pokud f(x) = 2x + 3 a g(x) = x^2 – 1, najděte následující:
a) (fg) (x)
b) (gf) (x)
3. Problémy hodnocení
Vzhledem k funkcím f(x) = x – 4 a g(x) = 3x + 2 vyhodnoťte následující složené funkce:
a) (fg) (2)
b) (gf) (-1)
4. Grafické cvičení
Načrtněte grafy následujících funkcí ve stejné souřadnicové rovině:
a) f(x) = x + 2
b) g(x) = 2x – 1
Uveďte na svém náčrtu grafy složených funkcí (fg)(x) a (gf)(x).
5. Slovní úlohy
Funkce f modeluje množství ušetřených peněz každý měsíc: f(x) = 200x, kde x je počet měsíců. Další funkce g modeluje úrok získaný z úspor: g(x) = 0.05x.
a) Napište složenou funkci (fg)(x), která představuje celkovou výši úspor po x měsících s úrokem.
b) Vypočítejte celkovou naspořenou částku po 6 měsících.
6. Pravda nebo nepravda
Přečtěte si následující prohlášení o složených funkcích a určete, zda jsou pravdivé nebo nepravdivé:
a) Složení dvou funkcí je vždy komutativní.
b) (fg)(x) znamená, že nejprve použijete g a poté f.
7. Problém výzvy
Nechť h(x) = 3x + 5 a k(x) = x / 2. Najděte a zjednodušte výrazy pro následující:
a) (hk) (x)
b) (kh) (x)
Pak ověřte, že (hk)(x) ≠ (kh)(x).
8. Reflexe
Napište odstavec o tom, co jste se naučili o složených funkcích prostřednictvím tohoto listu. Diskutujte o všech potížích, se kterými jste se setkali, a o tom, jak jste je překonali.
Konec pracovního listu. Před odesláním prosím zkontrolujte své odpovědi.
Pracovní list složených funkcí – těžká obtížnost
Pracovní list složených funkcí
Instrukce: Vyřešte následující cvičení o složených funkcích. Každé cvičení se zaměřuje na různé dovednosti, včetně hodnocení funkcí, hledání domén, skládání funkcí a vytváření grafů. Nezapomeňte ukázat veškerou svou práci.
1. Definujte funkce:
f(x) = 2x + 3
g(x) = x^2 – 4
Najděte následující:
A. (f ∘ g) (x)
b. (g ∘ f) (x)
2. Vzhledem k funkcím:
h(x) = √(x – 1)
k(x) = 3x + 5
A. Najděte definiční obor funkce (h ∘ k)(x).
b. Najděte hodnotu (h ∘ k)(6).
3. Nechť jsou funkce definovány takto:
p(x) = x/3 – 2
q(x) = 4 – 2x^2
Určit:
A. (p ∘ p) (x)
b. (q ∘ q) (x)
C. Najděte průsečíky x funkce (p ∘ q)(x).
4. Zvažte funkce:
r(x) = 5x – 1
s(x) = -x + 2
A. Vyhodnoťte r(s(3)).
b. Vyhodnoťte s(r(0)).
5. Vzhledem k tomu:
t(x) = 1/(x + 2)
u(x) = 2x – 3
A. Najděte složení (t ∘ u)(x) a svou odpověď zjednodušte.
b. Vypočítejte (t ∘ u)(4).
6. Pojďme prozkoumat funkce po částech: Definujte funkci m(x) takto:
m(x) = { x^2 pro x < 0
2x + 1 pro x ≥ 0 }
Nalézt:
A. (m ∘ m) (-2)
b. (m ∘ m) (2)
7. Vzhledem k funkcím:
v(x) = 1 – x
w(x) = x^3 + x
A. Najděte a zjednodušte (v ∘ w)(x).
b. Určete definiční obor (v ∘ w)(x).
8. Pro funkce:
a(x) = x^3 – 2x
b(x) = |x – 3|
A. Vypočítejte (b ∘ a)(4).
b. Popište, jak by se choval graf (a ∘ b)(x) ve srovnání s původní funkcí a(x).
9. Definujte funkce:
c(x) = 2^x
d(x) = log(x)
Najděte výstup složení (c ∘ d)(10) a popište význam výsledku z hlediska rychlosti růstu exponenciálních vs. logaritmických funkcí.
10. Pro následující funkce:
e(x) = hřích(x)
f(x) = cos(x)
A. Vypočítejte (e ∘ f) (π/3).
b. Určete periodu složené funkce (f ∘ e)(x).
Dokončete svůj pracovní list zkontrolováním odpovědí a ujistěte se, že rozumíte každému kroku, který je součástí řešení těchto cvičení složených funkcí.
Vytvářejte interaktivní pracovní listy s umělou inteligencí
S StudyBlaze můžete snadno vytvářet personalizované a interaktivní pracovní listy, jako je Compound Functions Worksheet. Začněte od začátku nebo nahrajte materiály kurzu.
Jak používat pracovní list složených funkcí
Složené funkce Výběr listu by měl vycházet z vašeho současného chápání funkcí v matematice. Začněte tím, že zhodnotíte svou obeznámenost s jednotlivými funkcemi, jako jsou lineární a kvadratické funkce, než přejdete ke složeným funkcím, které tyto prvky kombinují. Hledejte pracovní listy, které nabízejí řadu problémů, od základních až po složitější scénáře, a zajistěte jasné vysvětlení příslušných pojmů. Je výhodné zvolit pracovní list, který poskytuje příklady krok za krokem a postupně zvyšuje obtížnost. Při řešení tématu začněte jednoduššími cvičeními, abyste získali sebevědomí, a nezapomeňte si zopakovat všechny základní koncepty, které mohou být nezbytné k úplnému pochopení složených funkcí. Jak budete postupovat k náročnějším problémům, neváhejte se znovu podívat na základní materiály nebo hledejte vysvětlení oblastí nejasností. Práce s kolegy nebo používání online zdrojů může také pomoci s porozuměním a zajistit, že se nebudete cítit zahlceni, když prozkoumáte toto pokročilejší téma.
Zapojení se do tří pracovních listů, zejména pracovního listu Compound Functions Worksheet, je pro studenty cennou příležitostí zhodnotit a zlepšit své matematické dovednosti. Vyplněním těchto pracovních listů mohou jednotlivci identifikovat své současné chápání složených funkcí a souvisejících pojmů, což jim umožní určit oblasti, kde mohou potřebovat zlepšení. Strukturovaná povaha cvičení zajišťuje komplexní hodnocení úrovně jejich dovedností a podporuje hlubší pochopení toho, jak efektivně kombinovat funkce. Práce s těmito listy navíc nejen posiluje základní znalosti, ale také buduje sebevědomí při řešení složitějších problémů, což v konečném důsledku činí matematiku přístupnější a méně zastrašující. Jak studenti postupují v plnění úkolů, budou mít prospěch z okamžité zpětné vazby, která je nezbytná pro růst a zvládnutí, díky čemuž je tato zkušenost vzdělávací a posilující.